圆的一般方程

教学目标：

　　（1）掌握圆的一般方程及其特点．

　　（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．

　　（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．

　　（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．

教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．

　　　　　（2）用待定系数法求圆的方程．

教学难点：圆的一般方程特点的研究．

教学用具：计算机．

教学方法：启发引导法，讨论法．

教学过程：

【引入】

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何圆的方程都可以通过展开化成形如

　　　　　　　　　①

的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆？

师生共同讨论分析：

　　如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得

　　　　　　　②

显然②是不是圆方程与 是什么样的数密切相关，具体如下：

　　（1）当 时，②表示以 为圆心、以 为半径的圆；

　　（2）当 时，②表示一个点 ；

　　（3）当 时，②不表示任何曲线．

　　总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．

圆的一般方程的定义：

　　当 时，①表示以 为圆心、以 为半径的圆，

　　此时①称作圆的一般方程．

　　即称形如 的方程为圆的一般方程．

【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同．

　　（1） 和 的系数相同，都不为0．

　　（2）没有形如 的二次项．

圆的一般方程与一般的二元二次方程

　　　　　　　　③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件．

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

　　（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．

　　（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．

【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形．

　　（1） ；

　　（2） ；

　　（3） ．

学生演算并回答

　　（1）表示点（0，0）；

　　（2）配方得 ，表示以 为圆心，3为半径的圆；

　　（3）配方得 ，当 、 同时为0时，表示原点（0，0）；当 、 不同时为0时，表示以 为圆心， 为半径的圆．

　　例2：求过三点 ， ， 的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．

　　分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解．

　　解：设圆的方程为

因为 、 、 三点在圆上，则有

解得： ， ，

所求圆的方程为

可化为

圆心为 ，半径为5．

请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

　　（1）求圆的方程多用待定系数法．其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程．

　　（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程．一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程．

下面再看一个问题：

　　例3： 经过点 作圆 的割线，交圆 于 、 两点，求线段 的中点 的轨迹．

　　解：圆 的方程可化为 ，其圆心为 ，半径为2．设 是轨迹上任意一点．

　　∵ 

　　∴ 

即

化简得

点 在曲线上，并且曲线为圆 内部的一段圆弧．

【练习巩固】

　　（1）方程 表示的曲线是以 为圆心，4为半径的圆．求 、 、 的值．（结果为4，－6，－3）

　　（2）求经过三点 、 、 的圆的方程．

　　分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为 ．

　　（3）课本第79页练习1，2．

【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点．

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径．

（3）用待定系数法求圆的方程．

【作业】课本第82页5，6，7，8．

【板书设计】

圆的一般方程

圆的一般方程

例1：

例2：

例3：

练习：

小结：

作业：